<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Segunda Parte

<F->
Unidade 2 -- Potenciao e 
  radiciao
Captulo 4- Raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 117
Raiz quadrada 
  aritmtica :::::::::::::: 118 
Extrao de raiz quadrada 
  aproximada :::::::::::::: 123 
Extrao de raiz quadrada 
  por decomposio em 
  fatores primos :::::::::: 130
Razes de fraes :::::::: 137 
Curiosidade: como era a 
  extrao da raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 148
Resto :::::::::::::::::::: 148
Algoritmo da raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 149
Mtodo de Heron ::::::::: 152
<p>
Unidade 3 -- Segmentos, 
  ngulos e tringulos
Captulo 5- 
  Segmentos :::::::::::::: 158
Segmento de reta ::::::::: 159
Transporte de 
  segmentos ::::::::::::::: 160
Congruncia de 
  segmentos ::::::::::::::: 162
Medida de um segmento :::: 163 
Ponto mdio de um 
  segmento :::::::::::::::: 165
Uso do esquadro :::::::::: 167
Captulo 6- ngulos :::: 175
Semirreta :::::::::::::::: 175
O que  ngulo? :::::::::: 175
Transporte de ngulos :::: 177
Congruncia de ngulos ::: 179
Medida e congruncia de 
  ngulos ::::::::::::::::: 180
Nomes dados aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 183
Bissetriz de um ngulo ::: 185
Semirreta interna a um 
  ngulo :::::::::::::::::: 185
Bissetriz :::::::::::::::: 187
<p>          
                            III
Captulo 7- Retas 
  coplanares :::::::::::::: 196
Retas coplanares ::::::::: 196
Posies relativas de duas 
  retas ::::::::::::::::::: 197
ngulos opostos pelo 
  vrtice (o. p. v.) :::: 199
Propriedades dos ngulos 
  opostos pelo vrtice :::: 201 
Caso especial: retas 
  perpendiculares ::::::::: 205
ngulos de duas retas com 
  uma transversal ::::::::: 213
1 propriedade ::::::::::: 218
2 propriedade (Axioma  
  de Euclides) :::::::::: 219
3 propriedade ::::::::::: 219
Concluses prticas :::::: 221
Captulo 8- 
  Tringulos ::::::::::::: 234
Tringulo :::::::::::::::: 234
Classificao dos 
  tringulos quanto aos 
  lados ::::::::::::::::::: 237
Desigualdade 
  triangular :::::::::::::: 238
<p>
Captulo 9- Soma dos 
  ngulos de um 
  tringulo ::::::::::::::: 246
Propriedade da soma dos 
  ngulos dos 
  tringulos :::::::::::::: 248 
Classificao dos 
  tringulos quanto aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 251
ngulo externo e sua 
  propriedade ::::::::::::: 253
<F+>
<57>
<T mat. realidade 8>
<t+117> 
Unidade 2 -- Potenciao 
  e radiciao

Captulo:
 4- Raiz quadrada

Unidade 3 -- Segmentos, ngulos  
  e tringulos 

<F->
<R+>
Captulos: 
5- Segmentos 
6- ngulos 
7- Retas coplanares
8- Tringulos 
9- Soma dos ngulos de um 
  tringulo 
<R->
<F+>

<57>
Captulo 4- Raiz quadrada 

A herana 

  Dois irmos receberam de herana dois terrenos de reas iguais. O terreno de Pedro era retangular e media 10 m de frente por 40 m de fundo. O de Paulo era 
<p>
 um terreno quadrado. Quantos metros de frente e de fundo tinha o terreno de Paulo? 
  Como as reas so iguais, precisamos ter: 
 x.x=10.40 
 x2=400 

Raiz quadrada aritmtica 

  A medida de frente e de fundo do terreno de Paulo, em metros,  o nmero positivo que 
elevado ao quadrado d 400. Esse nmero  20, porque: 
 202=20.20=400 
  Dizemos que 20  a raiz quadrada aritmtica de 400, e indicamos: 
 400=20 
  Ento, o terreno de Paulo tem 20 m de frente por 20 m de fundo. 

  Raiz quadrada aritmtica de um nmero real positivo *a*  o nmero positivo que elevado ao quadrado d *a*. 
<p>
  Em smbolos matemticos: 
 a=b se b>0 e b2=a 
<58>
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 25=5, porque 
  5>0 e 52=55=25 
 0,25=0,5, porque 
  0,5>0 e `(0,5)2=0,50,5=
  =0,25 
 144=12, porque 
  12>0 e 122=1212=144 
<R->
 1,44=1,2, porque 1,2>0 e 
  1,22=1,21,2=1,44 

  O smbolo   chamado radical.

  Observe que, at agora, s falamos em a para um nmero positivo *a*. Tambm existe 0. Como 02=00=0, dizemos que: 
 0=0
  Mas nenhum nmero real multiplicado por ele mesmo d resultado negativo. Ento expresses como -4, -6,25, -25 no representam nmeros reais. 
<p>
  Uma vez que -5 multiplicado por ele mesmo resulta 25: 
<R+>
 `(-5)2=`(-5)`(-5)=25 podemos escrever 25=-5? 
<R->
  A resposta  no. Quando indicamos 25, queremos o nmero positivo que elevado ao quadrado d 25. Logo, s 25=5  correto. 

<R+>
_`[{apontando para o esquema a seguir, um menino afirma: "Isto  verdadeiro."
 a=b
 a=c
 ento b=c_`]  
<R->

<R+>
_`[{apontando para o esquema a seguir, uma menina pergunta: "Aqui h um erro. Onde ele est?"
<R->
 25=5
 25=-5
 ento 5=-5_`]
<p>
Exerccios 

<F->
31. D o valor de: 
a) 16 
b) 100 
c) #,i
d) 225 
e) 2,25
f) 0,25
g) 1 
h) 0,01 
i) 0 
j) 900
k) 1,69
l) #,ha

<R+>
32. Indique e calcule a raiz quadrada de cada nmero: 
36 -- 1 -- 256 -- #,aba -- #,}}ha -- 3,24 -- 64 -- 1,21 -- 361 -- #*d -- 0,09 -- 5,29
<R->
<59>

<R+>
33. Que nmero deve ser colocado no lugar dos pontinhos?
<R->
a) 49='''
b) #,d='''
c) '''=11
d) '''=#,c
e) '''=0,4
f) 0,81='''

<R+>
34. Classifique em verdadeiro ou falso e justifique sua resposta: 
<R->
a) 625=25  
b) 62,5=2,5  
c) 6,25=2,5
d) 625=-25
e) -625=-25 

35. Calcule o valor de: 
a) 316-25 
b) ?3.16+1* 
<F+>

  Vamos rever o quadrado azul 
 _`[no representado_`] que apareceu no incio do captulo 1, pgina 3. 

<R+>
_`[{figura mostrando 4 quadradinhos (rosa), medindo 1 cm de lado, tais quadrados foram justapostos, formando um quadrado 
<p>
  maior. No seu interior, h um quadrado (azul), desenhado em diagonal_`]
<R->

  Qual  sua rea? Quanto medem os seus lados? 
  A rea de cada quadradinho de lado 1 cm  igual a 1 cm2; dividido ao meio, cada parte fica com 0,5 cm2 de rea. Como 40,5=2, a rea do quadrado azul  2 cm2. 
  Para saber quanto medem seus lados, vamos ver como calcular a raiz quadrada aproximada. 

<R+>
Extrao de raiz quadrada 
  aproximada 
<R->

  Extrair a raiz quadrada de um nmero positivo *a*  calcular a, ou seja,  descobrir o nmero positivo que elevado ao quadrado d *a*. 
<p>
  Conhecendo a rea de um quadrado, podemos calcular a medida de seus lados extraindo a raiz quadrada da rea: 
<F->
           
  pcccccccc  
  l        _  
  l   4   _  
  l cm2  _  
  v--------#  
  4=2      
  lados =2 cm
<F+>
                      
  pcccccccccc 
  l          _ 
  l  6,25   _ 
  l  cm2   _ 
  l          _ 
  v----------# 
  6,25=2,5      
  lados =2,5 cm
<p>
  pcccccccccccccc  
  l              _   
  l              _   
  l   9 cm2   _   
  l              _   
  l              _
  l              _   
  v--------------#    
  9=3      
  lados =3 cm

  Como a rea do quadrado azul  2 cm2, ento a medida de cada um de seus lados  2 cm. 
<60>
  Quanto  2? Veja nas pginas 28 a 32, quando estudamos nmeros irracionais, como chegamos a um valor aproximado de 2. Temos: 
<R+>
 2^=1 com erro menor que 1 unidade (1<2<2, porque 12=1<2 e 22=4>2)
 2^=1,4 com erro menor que 1 dcimo (1,4<2<1,5, porque 1,42=1,96<2 e 1,52=2,25>2) 
<p>
 2^=1,41 com erro menor que 1 centsimo (1,41<2<1,42, porque 1,412=1,9.881<2 e 1,422=2,0.164>2)
 2^=1,414 com erro menor que 1 milsimo (1,414<2<1,415, porque 1,4142=1,999.396<2 e 1,4152=2,002.225>2) 
 2  um nmero irracional; sua representao decimal  infinita e no peridica. 

Erro  a diferena entre o valor exato e o valor aproximado. Por exemplo, tomando 2^=1,4, o erro  2-1,4, que  menor que 0,1. 
<R->

Exerccios 

<R+>
<F->
36. Atenda ao que se pede nos itens a seguir considerando a figura _`[no representada_`].
a) Qual  a rea do quadrado pintado de azul? 
b) Quanto medem os seus lados? 
<p>
c) Calcule os valores aproximados da medida dos seus lados com uma casa decimal e com duas casas decimais. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
37. Usando os sinais < e >, escreva uma sentena matemtica, situando cada uma das razes entre dois nmeros inteiros consecutivos: 
<F->
a) 3
b) 10
c) 20
d) 50 
e) 90
f) 99
<F+>

38. Calcule 3, aproximando por falta, com erro menor que 1 
<p>
  dcimo. Copie no caderno a reta 
  numerada a seguir e localize 
  aproximadamente o ponto correspondente a 3. 
<R->

<F->
        0  1  2  3 
 <::::::w:::w:::w:::w::::::>
<F+>

<R+>
<F->
39. Calcule o valor aproximado por falta com uma casa decimal: 
a) 7
b) 150
c) 253
d) 450

40. Calcule: 
a) 10,5, aproximando por falta com erro menor do que 1 dcimo. 
b) o valor aproximado de 50, com duas casas decimais. 

41. Calcule, aproximando at a segunda casa decimal: 
6 -- 10
<F+>
<61>
<p>
42. Quanto medem os lados do quadrado {a{b{c{d _`[no representado_`]?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
43. Qual  o nmero maior: 7~10 ou ?2~2*? 

44. Qual  o nmero maior: 
a) 9 ou 16? 
b) 8 ou 3? 
c) 20 ou 4? 
d) 2,5 ou 5?  
e) 5~3 ou 3?
f) 0,5 ou 0,5? 

45. Escreva os nmeros 6, 7, 7~3 e 8~3 em ordem crescente. 

46. D o valor exato de: 
a) 0,64
b) 1,44 
<p>
c) 12,25 
d) 0,0.025 

47. Calcule as expresses: 
a) ?16+9*-`(16+9)
b) 54-9 
c) 5-39 
<F+>

Extrao de raiz quadrada por 
  decomposio em fatores primos 
<R->

  Recordemos a sucesso de nmeros inteiros quadrados perfeitos: 
<F->

                
          
      
    

           
 
 
 
 
 
<F+>
<p>
  Denominamos nmeros inteiros quadrados perfeitos aqueles cujas razes quadradas so tambm nmeros inteiros. 
  Observe, a seguir, uma tabela de inteiros quadrados perfeitos com as respectivas razes quadradas: 

 !:::::::::::
 l  n   _ n _
 r:::::::::::w 
 l 1   _ 1  _
 l 4   _ 2  _
 l 9   _ 3  _
 l 16  _ 4  _
 l 25  _ 5  _
 l 36  _ 6  _
 l 49  _ 7  _
 l 64  _ 8  _
 l 81  _ 9  _
 l 100 _ 10 _
 h::::::j:::::j

  Podemos saber se um inteiro positivo  quadrado perfeito, decompondo-o em fatores primos. 
<62>
  Se o inteiro *n*, maior que 1,  o quadrado do inteiro *p*, n=p2=pp, na decomposio em fatores primos de *n* cada fator primo dever aparecer um nmero par de vezes. (Reveja o exerccio 21 desta unidade.) 
  
  Um nmero inteiro positivo  quadrado perfeito quando na sua decomposio os expoentes de todos os fatores primos so nmeros pares. 

  Vamos verificar se cada nmero a seguir  inteiro quadrado perfeito ou no: 

<F->
36_2
18_2
 9_3
 3_3
 1_ 
<F+>

36=22.32
<p>  
  Como os expoentes so pares, 36  quadrado perfeito. 
  Para obter a raiz quadrada copiamos a forma fatorada, dividindo cada expoente por 2, e efetuamos os clculos: 
36=?22.32*=21.31=
  =6

<F->
400_2
200_2
100_2
 50_2
 25_5
  5_5
  1_ 
<F+>

400=24.52
  
  Como os expoentes so pares, 400  quadrado perfeito. 
  Vamos obter a raiz quadrada: 
400=?24.52*=
  =22.51=4.5=20
<p>
<F->
288_2
144_2
 72_2
 36_2
 18_2
  9_3
  3_3
  1_ 
<F+>

288=25.32

  Como h um expoente mpar, 288 no  quadrado perfeito. Logo, 288 no  nmero inteiro. 
  Separando um fator primo 2, temos: 288=24.32.2 
  Como 2=`(2)2, podemos escrever 288=24.32.`(2)2. 
  Da, dividindo os expoentes por 2, obtemos 288=22.3.2=
 =122. 
  Desse modo, obtemos um valor aproximado para 288, usando um valor aproximado de 2. Por exemplo: 2^=1,4; ento: 
288^=121,4=16,8 
<p>
  Sabemos que 2  um nmero irracional (tem representao decimal infinita e no peridica). Tambm so nmeros irracionais as razes quadradas dos outros inteiros positivos que no so quadrados perfeitos: 3, 20, 288, por exemplo. 
<63>

Exerccios 

<R+>
<F->
48. Calcule usando a decomposio em fatores primos: 
a) 324 
b) 1.296 
c) 729 
d) 5.625  

49. Calcule um valor aproximado usando a decomposio em fatores primos. Lembre-se de que 2^=1,41 e 3^=1,73. 
a) 450 
b) 1.200 
<p>
50. Verifique se  inteiro quadrado perfeito: 
a) 256 
b) 392 

51. Verifique se  nmero racional ou irracional: 
a) 196 
b) 260 

52. Decompondo os nmeros a seguir, diga quais so inteiros quadrados perfeitos: 
784 -- 948 -- 2.400 -- 5.184 -- 11.664 -- 9.966 -- 1.369 -- 2.916  

53. Determine o maior nmero inteiro quadrado perfeito que se escreve: 
a) com dois algarismos; 
b) com trs algarismos; 
c) com quatro algarismos; 
d) com seis algarismos. 
<F+>
<R->
<p>
Razes de fraes 

  Quando os termos de uma frao so nmeros inteiros quadrados perfeitos, podemos extrair a raiz quadrada da frao decompondo em fatores primos o numerador e o denominador. Para obter a raiz, dividimos cada expoente por 2. 
  Veja os exemplos: 
 625~144 

<F->
625_5  144_2 
125_5   72_2 
 25_5   36_2 
  5_5   18_2
  1_     9_3
           3_3
           1_ 
<F+>

?625~144*=54~?24.
  .32*=52~?22.31*=
  =25~?4.3*=25~12
 20,25=?2.025~100*=
  =?34.52*~?22.52*=
  =?32.51*~?21.51*=
  =?9.5*~?2.5*=45~10=4,5
<64>
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
54. Calcule o valor exato de cada radical: 
a) ?225~256*
b) 5,76 
c) ?4~1.089* 
d) 0,4.225 

55. Qual  o menor nmero inteiro positivo que devemos multiplicar por 360 para obter um inteiro quadrado perfeito? 

56. Calcule o valor exato de cada radical: 
a) 676 
b) 2.500
c) ?1~1.024*
d) ?729~400*
e) 0,49
f) 23,04

57. D um valor aproximado dos radicais a seguir. Use 2^=1,4. 
162 -- 242
<p>
58. O av de Marcelo nasceu no sculo XX, em um ano cujo nmero  um inteiro quadrado perfeito. Em que ano ele nasceu? 
59. Qual  o menor nmero inteiro positivo que devemos multiplicar por 3.000 para obter um inteiro quadrado perfeito? 
<F+>
<R->

Desafio 

Palitmtica I 

  Passe um palito de um membro para o outro, tornando verdadeira a igualdade: 
 1=1

_`[{representao dos palitos_`]

VI = II

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Teste seu conhecimento 

<R+>
<F->
1. O nmero 250.000.000  o mesmo que:
a) 2,5106 
b) 2,5107
c) 2,5108
d) 2,5109

2. (UF-RN) Dados os nmeros m=9,841015 e n=1,231016, pode-se afirmar que: 
a) m<n 
b) m>n
c) m+n=1,071016
d) mn=1,211031
<65> 

3. O valor de ?`(0,0.001)
  `(0,01)3*~`(0,001)4 :
a) 0,01 
b) 0,1 
c) 10 
d) 100 
<p>
4. Simplificando 46.4-284, obtemos:
a) #,b
b) #,d
c) #,h
d) #,af

5. Para x=-1, o valor de `(2x`)2x-x-2 :
a) -1 
b) -#:d 
c) -#,d
d) #?d

6. A potncia `(2,333...`)-1  igual a:
a) #;g
b) #:g
c) #g
d) #?g

7. A raiz quadrada exata de 110,25 : 
a) 10,5 
b) 10,05 
c) 10,25 
d) 10,55 
<p>
8. Assinale o nmero que  inteiro quadrado perfeito: 
a) 2.104  
b) 2.204 
c) 2.304 
d) 2.404 

9. A medida mais prxima do permetro do quadrado {a{b{c{d 
  _`[no representado_`] :
a) 4,8 
b) 5,2  
c) 5,6
d) 6,0 
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<F->
10. O nmero 80x  inteiro quadrado perfeito. Um possvel valor de *x* : 
a) 2 
b) 5 
c) 8 
d) 10 
<p>
11. Qual dos nmeros a seguir  racional? 
a) 0,06 
b) 0,07 
c) 0,08 
d) 0,09 

12. Um quadrado tem rea 300 m2. A medida mais prxima do lado : 
a) 17,3 m 
b) 17,5 m 
c) 17,7 m 
d) 17,9 m 
<F+>
<R->

Matemtica em notcia 

  Leia o texto e responda s questes a seguir. 

Um jardim bem pensado 

<R+>
Como trabalha e quanto custa o paisagista 
<R->

  No  apenas em grandes jardins que o trabalho do paisagista pode ser til. "Como hoje h cada vez mais terrenos pequenos, elementos como piscina, churrasqueira, caminhos e iluminao tm de ser bem planejados", explica o arquiteto paisagista Benedito Abbud. O profissional faz um projeto, com detalhes como tipos e quantidades de plantas e materiais, e apresenta um oramento. A Associao Brasileira de Arquitetos Paisagistas tem uma frmula complicada 
<R+>
 para determinar esse valor: 
 Honorrios =1,30(2.400+240 
    a raiz quadrada da rea em metros quadrados) 
<R->
  Um projeto de jardim de 50 metros quadrados custa, por essa frmula, 5.326 reais. O valor sobe em situaes como terrenos acidentados. Alguns escritrios fazem o projeto e o executam; em outros casos, 
<66>
 preciso contratar separadamente uma empresa de execuo de jardins. O metro qua-
<p>
drado de um jardim pequeno, mas elaborado e com plantas caras, pode chegar a 100 reais. 
  Como  rara a formao especfica na rea, a atividade pode ser realizada por arquitetos, engenheiros ou agrnomos especialistas em paisagismo. "O importante  o profissional entender no s de plantas, mas tambm de solos, sistemas hidrulicos e problemas ambientais", diz Celso Bergamasco, presidente da Associao Nacional de Paisagismo. Confira algumas informaes: 
<R+>
 Se o jardim j tem rvores, procure mant-las. Fica mais natural e econmico. 
 Cercas vivas revestindo o muro do sensao de amplitude. 
 rvores com frutas e flores atraem passarinhos. Amoreiras e jabuticabeiras so boas para quem tem pouco espao. 
<p>
 At em apartamentos com terrao pode-se cultivar uma horta. Vasos com temperos como organo e slvia do charme a casa. 
<R->

(*Veja*, 10/3/2004.) 

<R+>
<F->
a) Considerando que o valor dos honorrios ainda  o mesmo, quanto custa o projeto de um jardim com 50 m2? 
b) O projeto de um jardim com 25 m2 custa a metade do valor cobrado para os 50 m2?  
c) Quanto custa o projeto paisagstico para um jardim em forma de trapzio de bases 4 m e 8 m e altura 5 m? 
<F+>
<R->

Sobre calculadoras 

  Passados muitos e muitos sculos de civilizao, o homem de hoje dispe de diversos meios para se deslocar na superfcie da Ter-
<p>
ra: navios, trens, automveis, motos, bicicletas, *skates*, patins, etc. 
  Ningum quer abrir mo dessas tecnologias que nos trazem conforto. Entretanto, apesar de toda essa parafernlia, nenhum ser humano normal deixa de aprender o primeiro e o mais permanente meio para se movimentar: *andar com os prprios ps*. 
  Tambm deve ser assim no clculo numrico. Depois que o indivduo aprendeu a fazer por seus prprios meios (seu raciocnio e sua escrita) as principais operaes com nmeros,  natural que ele queira lanar mo das tecnologias existentes, com a finalidade de realizar confortavelmente operaes numricas de rotina. Por isso, aconselhamos o uso de calculadoras, principalmente nas ativi-
dades em que "fazer as contas" no  o ponto central do estudo. 
<67>
<p>
<R+>
Curiosidade: como era a extrao da raiz quadrada 
<R->

  Nada mais tranquilo do que apertar na calculadora, por exemplo, a tecla 7, em seguida apertar a tecla  e ler na telinha o resultado: 

<R+>
_`[{foto de uma calculadora, apresentando o seguinte nmero no visor: 2 . 6 4 5 7 5 1 3_`]
<R->

  Mas... sem essa maravilhosa auxiliar, como era feito esse clculo? 

Resto 

  Na extrao da raiz quadrada de um nmero, quando a raiz  exata, dizemos que a operao no deixa resto. Nesse caso, o quadrado da raiz  igual ao nmero dado. Por exemplo: 81=9; 92=81. 
<p>
  Quando a raiz no  exata, dizemos que a operao deixa um resto. Tomando a raiz aproximada por falta, o resto  a diferena entre o nmero dado e o quadrado da raiz. Por exemplo: 
 85=9 com resto igual a 
  85-92=85-81=4. 
  Tambm podemos dizer que quando a raiz  exata o resto  igual a zero. 

<R+>
Algoritmo da raiz quadrada _`[no sistema comum de escrita_`]
<R->

  Vejamos como se fazia antigamente para extrair uma raiz quadrada. Acompanhe a explicao a seguir, observando o clculo de 1.536 e 758. 
<R+>
 Dispomos os clculos como se fosse uma diviso e separamos (por exemplo, com um ponto) o nmero dado em grupos de dois algarismos, da direita para a 
<p>
  esquerda. O primeiro grupo  esquerda pode ficar com apenas um algarismo. 
 Extramos a raiz quadrada, exata ou aproximada por falta, do nmero que ficou no primeiro grupo  esquerda. Escrevemos a raiz no local a ela destinado e calculamos o resto abaixo do nmero dado. 
 Em seguida, abaixamos o grupo seguinte, colocando-o ao lado direito do primeiro resto. Separamos com um ponto o algarismo final (da direita). 
<R->
  Na linha abaixo da raiz, multiplicamos o valor dela por 2 e anotamos o resultado na outra linha. 
<68>
  Fora do algoritmo, fazemos a diviso do nmero formado  esquerda do ponto pelo dobro da raiz. O quociente  o candidato a ser o segundo algarismo da raiz (se for maior que 9, tomamos 9). 
<p>
<R+>
 Colocamos ao lado direito do dobro da raiz o algarismo candidato e multiplicamos o nmero assim formado pelo prprio algarismo candidato. Se o resultado for maior que o nmero colocado no lugar do resto, o candidato no serve. Nesse caso, devemos troc-lo pelo algarismo imediatamente menor e repetir a operao. Obtendo resultado menor que o indicado no lugar do resto, o algarismo candidato vai para a raiz. E calculamos o novo resto, subtraindo do nmero que l est o resultado da ltima multiplicao. 
 Havendo mais grupos para abaixar, o prximo deve ser juntado ao resto e devemos repetir os passos anteriores at acabarem os grupos. Nos exemplos vistos: 1.536=39 com resto 15, e 758=27 com resto 29. Para prosseguir, obtendo casas decimais, vo se acrescentando grupos de dois zeros. 
<R->
<p>
Mtodo de Heron 

  O algoritmo da raiz quadrada  hoje uma curiosidade de museu. Faz parte da histria da Matemtica, mas j no  utilizado. Um mtodo muito mais antigo, usado na Babilnia h mais de 3000 anos, chamado mtodo de Heron, fornecia valores aproximados da raiz com mais rapidez. Veja o clculo de 3 por esse mtodo: 
<R+>
 Comeamos pelo menor inteiro que supera 3:  2. 
 A primeira aproximao para 3  a mdia aritmtica entre 2 (inteiro inicial) e a frao #:b (numerador 3  o nmero do qual queremos a raiz e o denominador 2  o inteiro inicial): 
<R->
 ?2+32*~2=74
<R+>
 A segunda aproximao  a mdia aritmtica entre o resultado anterior e o quociente da diviso de 3 por ele: 
<R->
<p>
 ?74+3`(74)*~2=
  =?74+127*~2=
  =`(9728)~2=9756
<69>
<R+>
 A terceira aproximao  a mdia aritmtica entre 9756 e 397~56. E assim por diante. 
<R->
  Para efeito de comparao, vamos usar uma calculadora e anotar os resultados. 
 3=1,73.205.080...
  Usando o algoritmo, temos: 
<R+>
 primeira aproximao: 3^=74=1,75 (coincide at a 1 casa decimal: 1,7) 
 segunda aproximao: 3^=9756=1,73.214.285... (coincide at a 3 casa decimal: 1,732) 
<R->
  Na terceira aproximao h coincidncia at a 7 casa decimal! Calcule e confira. 
  Agora veja a extrao de 2 (=1,41.421.356..., de acordo com a calculadora) pelo mtodo dos babilnios: 
<p>
<R+>
 O menor inteiro que supera 2  2. 
<R->
 primeira aproximao: 
 2^=?2+22*~2=32 `(=1,5)
 segunda aproximao: 
 2^=?32+2`(32)*~2=
  =?32+43*~2=
  =`(176)~2=1712 
  `(=1,41.666.666...`)
 terceira aproximao: 
 2^=?1712+2`(1712)*~2=
  =?1712+2417*~2=
  =`(577204)~2=
  =577408 `(=1,41.421.568...`)
  Podemos perceber que os babilnios tinham um mtodo muito bom para o clculo de raiz quadrada (valor aproximado). Usando esse mtodo, calcule 5 e 7 at a terceira aproximao e compare com os valores obtidos nas calculadoras atuais. 
<70>
<p>
Desafio 

Nmero nico 

  Leia o texto a seguir: 

Uma febre chamada sudoku 

  Na Inglaterra, pas em que os principais jornais tm alcance nacional, uma das batalhas mais acirradas da imprensa vem sendo travada nas pginas de entretenimento.  a guerra do sudoku -- um quebra-cabea lgico no qual  preciso preencher uma grade com 81 espaos com nmeros de 1 a 9, sem repetir o mesmo algarismo nas linhas, nas colunas e nos quadrantes de nove casas. 
  O tradicional *Times* foi o primeiro a veicul-lo, em novembro do ano passado. O sucesso foi imediato, e a concorrncia no fi-
<p>
cou atrs: quase todos os jornais ingleses hoje trazem o passatempo. [...] Uma revista mensal dedicada ao quebra-cabea tem tiragem de 2.000.000 exemplares e livros com enigmas de sudoku so *best sellers*. Tornou-se possvel acessar o jogo em telefones celulares e a rdio BBC 4 mantm um programa devotado a ele. De repente a Inglaterra s fala em 
 sudoku. [...] 
  Juiz aposentado em Hong Kong, o neozelands Wayne Gould [criador de um programa de computador que produz problemas de 
 sudoku]  o responsvel pela febre inglesa desse jogo. Ele o descobriu numa revista de desafios lgicos comprada em Tquio -- isso explica por que, embora tenha sido criado no sculo XVIII por um matemtico suo, o quebra-cabea hoje  conhecido pelo nome 
<p>
japons, que quer dizer "nmero nico". 

(*Veja*, 15/6/2005.) 

  Desde 2005, tambm no Brasil diversos jornais e revistas incluem sudoku ao lado dos quadrinhos e das palavras cruzadas. Revistinhas especializadas trazem problemas do nvel mais fcil at o mais difcil ("diablico"). 
  A seguir so apresentados dois problemas de sudoku, um deles com 35 nmeros dados e o outro com apenas 29. Copie-os em seu caderno e preencha os quadradinhos restantes. Mas ateno  regra: cada linha deve ter os nmeros de 1 a 9, sem repetio. O mesmo vale para cada coluna ou quadrado de 9 casas (azul ou verde). 

_`[{problemas no representados_`]

               oooooooooooo
<71>
<p>
Unidade 3 -- Segmentos, ngulos  
  e tringulos 

Captulo 5- Segmentos

Construindo monumentos 

  A Geometria  a parte da Matemtica que estuda as formas. 
  Na Arquitetura, observamos as mais interessantes aplicaes da Geometria. Observe, nas imagens a seguir, diferentes formas geomtricas: 

<F->
<R+>
_`[{quatro fotos descritas por suas legendas_`]
Legenda 1: Burjal Arab Hotel Jumeirah Beach, em Dubai (Emirados rabes Unidos). 
Legenda 2: Museu de Arte Contempornea de Niteri (RJ). 
Legenda 3: Catedral de Braslia (DF).
<p>
Legenda 4: A nova biblioteca nacional em Minsk, Capital da 
  Bielo-Rssia. 
<R->
<F+>
 
  As "personagens" principais de um curso de Geometria so as figuras geomtricas. Vamos aprender a construir (desenhar) essas figuras. 
  Para construir (desenhar) com preciso figuras geomtricas  necessrio saber manejar trs instrumentos: a rgua, o compasso e o esquadro. 
  Veremos, a seguir, como e em que situaes esses instrumentos so utilizados. 
<73>

Segmento de reta 

  A rgua  o instrumento que se utiliza no traado de retas e suas partes. 
<p>
<R+>
_`[{arquiteto utilizando a rgua para elaborar uma planta baixa_`]
<R->

  Vamos marcar dois pontos, A e B, sobre a reta *r*. 
<F->
                             
 <::::::::o::::::::o::::::::> r
          A        B
<F+>

  O segmento de reta ^c?{a{b*  o conjunto de pontos da reta *r* compreendidos entre os pontos A e B, mais esses dois pontos. Os pontos A e B so chamados extremidades do segmento ^c?{a{b*. 
<F->
                              
 <::::::::o::::::::o::::::::> r
          A        B
<F+>

Transporte de segmentos 

  Uma das utilidades do compasso  o transporte de segmentos. Veja: 
<p>
Construo 1 

Transporte de segmentos 

  Vamos construir sobre uma reta *r* um segmento ^c?{c{d* com o mesmo "tamanho" que ^c?{a{b*, usando o compasso. 
<R+>
<F->
1- Traamos uma reta *r* e um segmento ^c?{a{b*.
2- Marcamos um ponto C sobre a reta *r*.
<74> 
3- Abrimos o compasso, colocando as pontas em A e B.
4- Mantendo fixa a abertura do compasso, colocamos a ponta-seca em C, e com a outra ponta marcamos o ponto D em *r*.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O segmento ^c?{c{d* que acabamos de construir tem o mesmo "ta-
<p>
manho" que ^c?{a{b*. Por esse motivo, os segmentos ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so denominados congruentes. 

Congruncia de segmentos 

  Dois segmentos so congruentes quando tm o mesmo "tamanho". 
<F->

        B o      o C
                   
                    
                          
                            
                              
                               
 A o                    o D     
 
<F+>
  ^c?{a{b* e ^c?{c{d* tm o mesmo "tamanho". Portanto, ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so congruentes.
  Indicamos: 
 ^c?{a{b*==^c?{c{d*
  (L-se: "o segmento ^c?{a{b*  congruente ao segmento ^c?{c{d*".) 
<p>
Medida de um segmento 

  Medir um segmento de reta ^c?{a{b* significa determinar quantas vezes um segmento unitrio padro (metro, centmetro, milmetro, etc.) cabe no segmento ^c?{a{b*. Veja a medida do segmento ^c?{a{b* em centmetro: 
<F->
 
 A                  B
 r::::w::::w::::w::::w  
 0  1   2   3   4        
<F+>

^c?{a{b* mede 4 cm. 

  Agora veja a medida do segmento ^c?{c{d* em milmetro: 

<F->
C                          D
r::::w::::w::::w::::w::::w::w
0   1   2   3  4    5 5,5       
<F+>
    
^c?{c{d* mede 55 mm. 

<75> 
  A medida {a{b de um segmento ^c?{a{b* , portanto, um nmero que indica quantas vezes a unidade de comprimento cabe no segmento. 
  Dois segmentos so congruentes quando tm medidas iguais. 

<F->
A                   B
o::::w::::w::::w::::o
<F+>

<F->
            o D
           
          
         w    
         
         
      w       
     
    
   w
  
 
o C
<F+>

<F->
^c?{a{b*==^c?{c{d*
  (^c?{a{b*  congruente a ^c?{c{d*.)
congruente :> {a{b={c{d
<F+>
  (A medida de ^c?{a{b*  igual  
medida de ^c?{c{d*.) 
<p>
Ponto mdio de um segmento 

  Observe a figura:
 
<F->
 A     M     B
 o:::::o:::::o 
   2 cm  2 cm
<F+>

  O segmento ^c?{a{b* mede 4 cm. 
  O ponto M pertence ao segmento ^c?{a{b* e divide ^c?{a{b* em duas partes, ^c?{a{m* e ^c?{m{b*, que medem 2 cm cada uma. Os segmentos ^c?{a{m* e ^c?{m{b* so congruentes. 
  Nesse exemplo, M  chamado ponto mdio do segmento ^c?{a{b*. 

  Ponto mdio de um segmento  um ponto que pertence ao segmento e o divide em dois segmentos congruentes. 

  Veja como podemos encontrar o ponto mdio de um segmento: 
<p>
Construo 2 

Ponto mdio de um segmento 

  Vamos obter o ponto mdio do segmento ^c?{a{b* usando a rgua e o compasso. 
<R+>
<F->
1- Traamos o segmento ^c?{a{b*. 
2- Tomamos o compasso com abertura maior que a metade de ^c?{a{b*, fincamos a ponta-seca em A e traamos um arco. 
<76>
3- Mantendo a abertura do compasso, fincamos a ponta-seca em B e traamos outro arco. Dessa forma, temos os pontos P e Q, que so as intersees dos arcos. 
4- Traamos a reta que liga os pontos P e Q e chamamos de M o ponto em que ~:,?{p{q* encontra ^c?{a{b*.
<F+>
<R->
  O ponto M que acabamos de encontrar  o ponto mdio de 
<P>
^c?{a{b*. A reta ~:,?{p{q*  chamada mediatriz de ^c?{a{b*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Uso do esquadro 

  Em geometria tambm  importante o uso do esquadro, instrumento que permite desenhar retas paralelas e perpendiculares. 
  Existem dois tipos de esquadro: o de 45 e o de 30/60. 
  Vamos aprender, ento, como usar um esquadro. 
<77>

Construo 3 

Retas paralelas 

  Observe como podemos traar uma reta paralela a um segmento ^c?{a{b*, usando o esquadro: 
<R+>
<F->
1- Traamos um segmento ^c?{a{b*.
2- Alinhamos o esquadro com o segmento ^c?{a{b* e o apoiamos na rgua. 
3- Mantendo a rgua firme, deslocamos o esquadro  direita para ento traar a reta paralela. 
4- Traamos a reta *r*. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<78>

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios a seguir, pea oriento ao professor_`]

<F->
1. Dados dois pontos distintos, P e Q, sobre uma reta *r*, quantos segmentos de reta tm extremidades nesses pontos? 
2. Se forem marcados trs pontos distintos, A, B e C, sobre uma reta *r*, quantos segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos ficam determinados? Quais so eles? 

3. Neste exerccio, voc vai usar rgua e compasso para fazer o transporte de um segmento. Siga os passos: 
a) Construa em seu caderno um segmento ^c?{r{s* de medida igual a 4 cm. 
b) Trace uma reta *r* qualquer e marque um ponto X sobre *r*. 
c) Pegue o compasso com abertura igual ao segmento ^c?{r{s* j construdo. 
d) Fincando a ponta do compasso em X, marque o ponto Y em *r*. 
e) Risque mais forte o segmento ^c?{x{y*. 

4. Observe a construo do exerccio anterior e responda: 
a) Voc fez o transporte do segmento ^c?{r{s* sobre qual reta?  
b) Qual a relao entre os segmentos ^c?{r{s* e ^c?{x{y*? 
<p>
5. Considere os segmentos traados a seguir e indique os que so congruentes:
<F+>
<R->

<F->
 o::::::::::o          o B
 C          D         *a
                      *a
                    *a
                   o A
                   
 o::::::::::o    o R
 X          Y      
                       
                       
                        
                         
                         o S

       o M    o E
      *a         
    *a            
  *a               
o N               
                     
                     o F
<f+>

<R+>
<F->
<p>
6. Sobre uma reta *r*, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, tais que {a{b=6 cm e {b{c=10 cm. Depois responda: 
a) Quanto mede o segmento ^c?{a{c*? 
b) Se M  o ponto mdio de ^c?{a{b*? e N  o ponto mdio de ^c?{a{b*, quanto mede ^c?{m{n*?  

7. Trace uma reta *r*. Marque os pontos R, S e T, nessa ordem. M  o ponto mdio de ^c?{r{s*, e N  o ponto mdio de ^c?{s{t*. ^c?{r{s* mede 4 cm, e ^c?{s{n* mede 3 cm. Agora, diga quanto medem: 
a) ^c?{r{t*
b) ^c?{m{n*
c) ^c?{m{t*
<p>
8. Se {a{b=20 cm, determine *x* em cada item: 
a) {a{p=x+6 cm
<F+>
  {p{b=x
<R->

<F->
 A        P     B
 o::::::::o:::::o
     x+6      x

<F+>
b) {a{c=3x 
  {b{c=x+2 cm 

<F->
 A        B     C
 o::::::::o:::::o
             x+2
 o:::::::::::::::o
         3x
<79>

<R+>
9. Sendo M o ponto mdio de ^c?{a{b*, determine {a{b. 
<R->

 A     M       B     P
 o:::::o:::::::o:::::o
     x             x+7
 o:::::::::::::::::::::o
          4x-5              
<p>
<R+>
10. Determine *x* e {a{b, sabendo que M  o ponto mdio de ^c?{a{b*. 
<R->

<F->
 A        M          B
 o::::::::o::::::::o
    3x-4     x+6 
<F+>

<R+>
<F->
11. Neste exerccio, voc vai usar rgua e compasso. 
a) Construa em seu caderno um segmento ^c?{p{q* de medida 5,4 cm. 
b) Seguindo os passos indicados na Construo 2, obtenha a mediatriz de ^c?{p{q*. 
c) Chame de M a interseo da mediatriz com ^c?{p{q*. Qual  a medida de ^c?{p{m*? 
<F+>
<R->

Desafio 

S dois? 

  Tire o lixo da p movendo apenas dois palitos. 
<p>
<R+>
_`[{cinco palitos formando a p e cinco palitos formando o lixo. Representao a seguir:_`]
<R->

<F->
l                 _
l  _  _  _  _  _  _
l  _  _  _  _  _  _
l  _  _  _  _  _  _
l                 _
 :::::::: ::::::::
         _
         _
         _
          
<F+>
               ::::::::::::::::::::::::
<80>
<p>
Captulo 6- ngulos

Semirreta 

  Vamos considerar uma reta *r* e sobre ela marcar um ponto O: 

<F->
         O        r
::::::::o::::::::o 
<F+>

  O ponto O divide a reta *r* em duas partes: Or e Or: 

<F->
r       O        r
::::::::o::::::::o
<F+>

  Cada uma das partes, Or e Or,  chamada semirreta. O ponto O  chamado origem das semirretas opostas Or e Or. 

O que  ngulo? 

  Observemos duas semirretas, Oa e Ob, com origem no ponto O. 
<p>
Juntas, essas semirretas formam o ngulo :?a{ob*. 
<F->
             
           *a a  
         *a
       *a
     *a
O *a
   e'
     e'
       e'
         e'
           e' b  
<F+>

  ngulo  a reunio de duas semirretas de mesma origem. 

  Num ngulo :?a{ob* (ou :?{a{o{b*), o ponto O  chamado vrtice, e as semirretas Oa (ou :,?{o{a*) e Ob (ou :,?{o{b*) so chamadas lados do ngulo. 
<p>
<F->
                     
                A  *a a  
            lado l*a
                *a
              *a
 vrtice O *a
            e'
              e'
                e'
            lado le'
                B  e' b  
<F+>

  Vejamos como construir um ngulo a partir de outro ngulo j dado. 
<81>

Transporte de ngulos 

Construo 4 

Transporte de ngulos 

  Vamos construir com o compasso um ngulo :?r{vs* que tenha o mesmo "tamanho" (a mesma "abertura") do ngulo :?a{ob*.
<R+>
<F->
<p>
1- Traamos um ngulo :?a{ob* e uma semirreta Vr. 
2- Com uma abertura qualquer do compasso, fincamos a ponta-seca em O e obtemos os pontos A e B (com A em Oa e B em Ob). 
3- Com a mesma abertura, fincamos a ponta-seca do compasso em V e obtemos o arco indicado na figura, o qual corta Vr em R. 
4- Tomamos o compasso com abertura ^c?{a{b*, fincamos a ponta-seca em R e determinamos o ponto S no arco obtido na etapa anterior. 
<82>
5- Traamos a semirreta :,?{v{s*. 
6- O ngulo :?r{vs* obtido tem o mesmo "tamanho" (a mesma "abertura") que :?a{ob*. Por esse motivo, os ngulos :?a{ob* e :?r{vs* so denominados congruentes. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Congruncia de ngulos 

  Dois ngulos so congruentes quando tm a mesma "abertura". 
  Observe os ngulos :?a{ob* e :?r{vs*. Com a mesma abertura do compasso, traamos os arcos {a{b (compasso em O) e {r{s (compasso em V) e encontramos ^c?{a{b*==^c?{r{s*. Por isso, os ngulos :?a{ob* e :?r{vs* tm a mesma "abertura" e so congruentes.  
  Indicamos: 
 :?a{ob*==:?r{vs*
  (L-se: "o ngulo :?a{ob*  congruente ao ngulo :?r{vs*".
<p>
<F->
                  
           *a a    
         *a         
    A o          
     *a               
O *a                  
   e'                  
     e'
    B o
         e'
           e' b
<F+>
<F->
                  
           *a s    
         *a         
    S o          
     *a               
V *a                  
   e'                  
     e'
    R o
         e'
           e' r
<F+>

Medida e congruncia de ngulos 

  Medir um ngulo :?a{ob* significa determinar quantas vezes um ngulo unitrio (grau) cabe no ngulo :?a{ob*. O instrumento utilizado para medir ngulos  o transferidor. 
  O transferidor  dividido em graus (o smbolo do grau  ). Observe: 
<F->
:?{a{o{b*=30
:?{a{o{c*=45
:?{a{o{d*=60
:?{a{o{e*=90 (ngulo reto) 
:?{a{o{f*=115
:?{a{o{g*=135
:?{a{o{h*=150
:?{a{o{i*=180 (ngulo raso) 
<F+>
<83>
  A medida de um ngulo , portanto, um nmero que indica quantas vezes a unidade de ngulos (o grau) cabe no ngulo. 
  Dois ngulos so congruentes quando tm medidas iguais. 
<F->
<p>            
           *a a    
         *a       
       *a          
     *a             
O *a                
   e'                
     e'
       e' 
         e'
           e' b
            
           *a s   
         *a       
       *a          
     *a             
V *a                
   e'                
     e'
       e' 
         e'
           e' r
          
<F+>
 :?a{ob*==:?r{vs*
  (L-se: "o ngulo :?a{ob*  
 congruente a :?r{vs*".) 
<p>
 med`(:?a{ob*`)=med`(:?r{vs*`)
  (L-se: "a medida de :?a{ob*  
  igual  medida de :?r{vs*".) 

Nomes dados aos ngulos 

  Dependendo de sua medida, os ngulos recebem nomes especiais: 
<R+>
 ngulo reto: ngulo cuja medida  90. 

<F->
l
l
l
l
h:::::::
<F+>

 ngulo agudo: qualquer ngulo cuja medida  menor que 90. 

<F->
     
    
   
  
 
i::::::
<F+>
<p>
 ngulo obtuso: qualquer ngulo cuja medida  maior que 90 e menor que 180. 

<F->
 
  
   
    
     e::::::::::
<F+>

 ngulo raso: ngulo cuja medida  180. 
<F->

 <:::::::o:::::::>
<F+>

<R->
<84>
  Alm desses ngulos, temos, ainda: 
<R+>
 ngulos complementares: dois ngulos cujas medidas tm soma igual a 90.

<F->
   c l70 * b
     l    *
     l   * 
     l  *
     l * 
     l* 20
     ccccccccc a
<p>
 ngulos suplementares: dois ngulos cujas medidas tm soma igual a 180. 
<F->
 
 b 
    
     
 60  120
-------u-------
c     180   a
<F+>

<R->
Bissetriz de um ngulo 

Semirreta interna a um ngulo 

  Observe as figuras: 
<F->
                      
           *a b             
         *a       
       *a         
     *a         
O *u---------- s
   e'        
     e'
       e' 
         e'
           e' a
<p>                     
           *a b             
         *a       
    B o         
     *a lS     
O *u--o----- s
   e'   l      
     e' l
    A o 
         e'
           e'
             e' a
            
<F+>
  As trs semirretas Oa, Ob e Os tm a mesma origem. 
  Tomando um ponto A em Oa e um ponto B em Ob, o segmento ^c?{a{b* encontra a semirreta Os num ponto S, interno do segmento ^c?{a{b*. 
  Dizemos que a semirreta Os  interna ao ngulo :?a{ob*.
<p>
Bissetriz 

  Observe a figura a seguir: 
<F->
           
           *a b             
         *a       
       *a         
     *a         
O *u---------- c
   e'        
     e'
       e' 
         e'
           e' a
           
<F+>
  A semirreta Oc  interna ao ngulo :?a{ob*. 
  Os ngulos :?a{oc* e :?b{oc* so congruentes, pois ambos medem *x* graus. 
  Dizemos que Oc  a bissetriz do ngulo :?a{ob* ou, ainda, que Oc divide o ngulo :?a{ob* ao meio. 
<p>
  Uma semirreta Oc interna a um ngulo :?a{ob*, com :?a{oc* congruente a :?b{oc*,  a bissetriz do ngulo :?a{ob*. 

  Vamos aprender como encontrar a bissetriz de um ngulo dado. 
<85>

Construo 5 

Bissetriz de um ngulo 

  Observe como podemos obter a bissetriz de um ngulo :?a{ob* usando o compasso: 
<R+>
<F->
1- Traamos um ngulo :?a{ob*.
2- Tomamos o compasso com uma abertura qualquer, fincamos a ponta-seca em O e desenhamos um arco. Chamamos de A a interseo com Oa e de B a interseo com Ob. 
3- Fincamos o compasso em A e, com abertura maior que a metade de ^c?{a{b*, traamos um arco na parte interna do ngulo. 
<p>
4- Usando a mesma abertura, fincamos o compasso em B e traamos outro arco. Chamamos de C o ponto de interseo dos arcos obtidos. 
5- Traamos a semirreta :,?{o{c* (ou Oc). A semirreta Oc  a bissetriz do ngulo :?a{ob*. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<86>

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 12 a 24, pea orientao ao professor_`]

12. Se forem desenhadas trs semirretas, Oa, Ob e Oc, com origem no mesmo ponto O, quantos ngulos (com lados em duas dessas semirretas) ficam determinados? Quais?

<p>
13. So dados o ngulo :?a{ob* e a semirreta Vp. 
<R->
<F->
        
           *a a 
         *a    
    A o       
     *a        
O *a           
   e'          
     e'
    B o
         e'
           e' b

V :::::::::::> p
<F->

<R+>
<F->
  Usando rgua e compasso, faa no caderno as seguintes operaes: 
a) Pegue o compasso com uma abertura qualquer. Finque a ponta-seca em O e obtenha os pontos A e B com A em Oa e B em Ob. 
<p>
b) Com a mesma abertura, finque a ponta-seca do compasso em V 
  e obtenha o ponto P em Vp e um arco. 
c) Tome o compasso com abertura ^c?{a{b*. Finque o compasso em P e obtenha o ponto Q no arco. 
d) Trace a semirreta :,?{v{q* ou Vq. 
e) Voc fez o transporte do ngulo :?a{ob* sobre qual semirreta?  
f) Qual a relao entre os ngulos :?a{ob* e :?p{vq*? Indique. 

14. Dos ngulos traados a seguir, indique os que so congruentes.
<F->

_`[{figuras no representadas_`]

15. :,?{o{p*  bissetriz de :?{a{o{b*, :?{a{o{p*=3x-5 e :?{b{o{p*=2x+10. Qual o valor de *x*?
<p>
<F->
          *a           
     A o       
      *a         
    *a 3x-5 P         
O :::::::::::o:
    e'  2x+10
      e'
        e' 
      B o
           e'
            
<F+>
<87>
16. :,?{o{p*  bissetriz de :?{a{o{b*, :?{a{o{p*=x+10, :?{b{o{p*=y-10 e :?{b{o{c*=2y. Determine *x* e *y*. 

_`[Figura no representada_`]

17. Na figura, traamos as semirretas :,?{v{r*, :,?{v{s* e :,?{v{t*, nessa ordem, tais que :?{r{v{s=40 e :?{s{v{t*=70. 
<p>
_`[{figura no representada_`]

 a) Quanto mede o ngulo :?{r{v{t*? 
 b) Se :,?{v{c*  a bissetriz de :?{r{v{s* e :,?{v{d*  a 
  bissetriz de :?{s{v{t*, quanto mede :?{c{v{d*?

18. Tomamos as semirretas Oa, Ob, Oc e Od, nessa ordem, com :?a{ob*=40, :?b{oc*=60 e :?a{od*=120. Determine quanto mede: 
<F->
a) :?a{oc*;
b) :?c{od*;
c) :?x{oy*, sendo Ox bissetriz de :?a{ob* e Oy bissetriz de :?c{od*.

19. A semirreta :,?{o{y*  interna ao ngulo :?{x{o{z*. O ngulo :?{x{o{y*  de 60 e :?{y{o{z*  de 100. A semirreta :,?{o{r*  bissetriz de :?{x{o{z*. Quanto mede :?{y{o{r*?
<p>
20. Trace as semirretas :,?{o{r*, :,?{o{s*, e :,?{o{t*, sendo: 
 :,?{o{s* interna ao ngulo :?{r{o{t*
 :,?{o{x* bissetriz de :?{r{o{s*
 :,?{o{y* bissetriz de :?{s{o{t*
 :?{r{o{s*=60 
 :?{s{o{y*=20 
  Determine quanto medem: 
a) :?{r{o{t*
b) :?{x{o{y*
c) :?{x{o{t*

21. Dois ngulos so adjacentes e suplementares. Um deles mede 
  40. Quanto mede o ngulo formado por um dos lados desse ngulo com a bissetriz do suplementar?  

22. Determine a medida do ngulo formado pelas bissetrizes: 
a) de dois ngulos adjacentes e complementares; 
<p>
b) de dois ngulos adjacentes que somam 150. 

23. As bissetrizes de dois ngulos adjacentes formam um ngulo de 60. Se um deles mede 40, qual  a medida do outro? 
24. Demonstre que as bissetrizes de dois ngulos adjacentes e suplementares formam um ngulo reto. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<88>
<p>
Captulo 7- Retas coplanares

Retas coplanares 

  Duas ou mais retas que esto contidas no mesmo plano so chamadas retas coplanares. 
  No desenho a seguir, as retas *r*, *s* e *t* esto contidas no plano ^a. Por isso, as retas *r*, *s* e *t* so coplanares. 

<F->
!:::::::::::::::::::::
l                     _    
l                    _
l   cccccccccc r     _
l                    _
l   cccccccccc s     _
l      t             _
l                     _
l ^a                  _
h:::::::::::::::::::::j
<F+>
<p>
Posies relativas de duas 
  retas 

  Duas retas coplanares distintas podem ser, uma em relao  outra, quanto  posio: concorrentes ou paralelas. 
  Duas retas coplanares so concorrentes quando possuem um nico ponto em comum. 
  No desenho a seguir, *r* e *s* tm em comum apenas o ponto P (elas se interceptam em P). Por isso, *r* e *s* so concorrentes. 
<p>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::
l                         _
l r^              ^ s   _
l    ^          ^       _
l      ^  P  ^         _
l        ^  ^           _
l          o             _
l        ^ ^            _
l      ^     ^          _
l    ^         ^        _
l  ^             ^      _
l                         _
l ^a                      _ 
h:::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<F+>

  Duas retas coplanares so paralelas quando no tm nenhum ponto em comum. 
  No desenho a seguir, *r* e *s* no tm ponto em comum (elas no se interceptam). Por isso, *r* e *s*, so paralelas. 
<p>
<F->
!:::::::::::::::::
l                 _
l       r   s     _
l               _
l               _  
l               _
l               _
l                 _
l ^a              _
h:::::::::::::::::j
<F+>
<F+>

ngulos opostos pelo vrtice 
  (o. p. v.) 

  Observe a figura a seguir. 

<F->
  ^             ^
 C o          o B
      ^  O  ^    
        ^  ^          
          o        
        ^ ^       
      ^    ^ 
  A o       o D
   ^           ^
<F+>
<p>
<R+>
 As retas ~:,?{a{b* e 
  ~:,?{c{d* so concorrentes. O ponto O  comum s duas retas. O ponto O pertence s duas retas. 
 Podemos observar quatro semirretas: :,?{o{a*, :,?{o{b*, :,?{o{c* e :,?{o{d*. :,?{o{a* e :,?{o{b* so semirretas opostas; :,?{o{c* e :,?{o{d* tambm so semirretas opostas. 
<89>
 Podemos notar ainda quatro ngulos: :?{a{o{c*, :?{c{o{b*, :?{b{o{d* e :?{d{o{a*. 
<R->
  Vamos destacar os ngulos :?{a{o{c* e :?{b{o{d*. Neles podemos observar que os lados :,?{o{a* e :,?{o{b*, so semirretas opostas, assim como os lados :,?{o{c* e :,?{o{d*. 
  Os ngulos :?{a{o{c* e :?{b{o{d* so, por esse motivo, chamados ngulos opostos pelo vrtice. 
<p>
  Dois ngulos so opostos pelo vrtice (o. p. v.) quando os lados de um deles so as semirretas opostas aos lados do outro. 

Propriedades dos ngulos 
  opostos pelo vrtice 

  Observe na figura a seguir os ngulos opostos pelo vrtice e considere que um deles tem medida *a* e o outro tem medida *b*. 

<F->
  ^              ^ s
    ^          ^
      ^      ^    
        ^  ^          
       b  o  a       
        ^ ^       
      ^  O ^ 
    ^         ^
  ^             ^ r
<F+>
<p>
  Observe agora o ngulo de 
medida *c*. 

<F->
  ^              ^ s
    ^          ^
      ^  c   ^    
        ^  ^          
       b  o  a       
        ^ ^       
      ^  O ^ 
    ^         ^
  ^             ^ r
<F+>

  Podemos notar que: 
 c+a=180  
  Ento: 
 a=180-c 
<p>
<F->
  ^              ^ s
    ^          ^
      ^  c   ^    
        ^  ^          
       O o  a       
           ^       
             ^ 
               ^
                 ^ r
<F+>

  Podemos notar tambm que: 
 c+b=180 
  Ento: 
 b=180-c 

<F->
r ^              ^ s
    ^          ^
      ^  c   ^    
        ^  ^          
       b  o O       
        ^          
      ^      
    ^           
  ^               
           
<F+>
  Conclumos, assim, que a=b. 
<p>
  Dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas iguais (so congruentes). 

ngulos de duas retas 
  concorrentes: resumo 

  Duas retas concorrentes formam quatro ngulos. Vamos chamar suas medidas de *a*, *b*, *c*, *d*. 

<F->
  ^              ^ s
    ^          ^
      ^  c   ^    
        ^  ^          
       b  o  a       
        ^ ^       
      ^  O ^ 
    ^     d   ^
  ^             ^ r
<F+> 

  Pela propriedade dos ngulos opostos pelo vrtice, temos: 
 a=b e c=d 
  E ainda: 
<R+>
<F->
<p>
a+c=180 (*a* e *c* so suplementares) 
c+b=180 (*c* e *b* so suplementares) 
b+d=180 (*b* e *d* so suplementares) 
d+a=180 (*d* e *a* so suplementares) 
<F+>
<R->
<90>

Caso especial: retas 
  perpendiculares 

  Quando duas retas concorrentes formam quatro ngulos *a*, *b*, *c*, *d* congruentes, dizemos que as retas so perpendiculares. 
  Nesse caso, temos: 
 a+c=180 e a=c 
  Ento: 
 a+a=180 
  Portanto: 
 a=90 
<p>
<F->
        _ s       
        _
        _
        _
    _-c _ _-a
::::::::w:::::::: r
    _-b _ _-d
        _
        _
        _
        _ 
<F+>

  Retas perpendiculares so duas retas concorrentes que formam quatro ngulos congruentes, medindo 90 cada um. 

  Vamos aprender como traar uma reta perpendicular. 

Construo 6 

Retas perpendiculares 

  Com rgua e compasso, observe como obtemos a reta *s* que passa 
<p>
pelo ponto P e  perpendicular  reta *r*: 
<R+>
<F->
1- Traamos um ponto P e uma reta *r*. 
2- Fincamos a ponta-seca do compasso em P e, com abertura conveniente, traamos um arco que intercepta *r* em dois pontos: A e B. 
<F+>
<R->
  A seguir, vamos obter a mediatriz de ^c?{a{b*. 
<R+>
<F->
3- Tomamos o compasso com abertura maior que metade de ^c?{a{b*, fincamos a ponta-seca em A e traamos um arco. 
<91>
4- Mantendo a abertura do compasso, fincamos a ponta-seca em B e traamos outro arco. 
5- Chamamos de Q a interseo dos arcos traados nas duas etapas anteriores. Traamos a reta *s* passando por P e Q. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

25. Qual  o valor do ngulo *x*? 
a)
   ^              ^ 
     ^  120   ^
       ^      ^    
         ^  ^          
           {k      
         ^  ^       
       ^  x   ^ 
     ^          ^
   ^              ^
<p>
b)
   e      i
    e    i
     e  i
 35 ei x
      ie
     i  e
    i    e
   i      e

c)
   ^              ^ 
     ^  100   ^
       ^      ^    
         ^  ^          
           {k  x
         ^  ^       
       ^  x   ^ 
     ^          ^
   ^              ^
<p>
d)
   ^              ^ 
     ^  x+40  ^
       ^      ^    
         ^  ^          
           {k  x
         ^  ^       
       ^      ^ 
     ^          ^
   ^              ^

26. Calcule os valores das letras indicadas nas figuras: 

a)
   ^              ^ 
     ^   150  ^
       ^      ^    
         ^  ^          
           {k  y
         ^  ^       
       ^   x  ^ 
     ^          ^
   ^              ^
<p>
b)
   ^              ^ 
     ^ 3x+10 ^
       ^      ^    
         ^  ^          
    x+50 {k  y
         ^  ^       
       ^   z  ^ 
     ^          ^
   ^              ^

c)
          ^      ^    
            ^  ^          
              {k  y
            ^  ^       
          ^ 95 ^ 
        ^          ^
      ^         45 ^
----^------------------^----
  ^                      ^ x
^                          ^
<p>
d)
   ^              ^ 
     ^          ^
       ^  x   ^    
         ^  ^          
   ::::::::{k::::::::
      x  ^  ^  x     
       ^      ^ 
     ^          ^
   ^              ^
<92>

27. Duas retas concorrentes formam dois ngulos opostos pelo vrtice de medidas 100-2x e 2x+40. Os outros dois ngulos tm medida *y*. Calcule *x* e *y*. 

28. Para fazer este exerccio (similar  Construo 6), voc precisa de rgua e compasso. 
a) Desenhe no seu caderno uma reta *r* e marque nela um ponto P. 
b) Construa uma reta *s* que passe por P e seja perpendicular a *r*. 
<p>
29. Use rgua e compasso e: 
a) (veja novamente a Construo 6), construa um ngulo de 90; 
b) usando a Construo 5, construa um ngulo de 45. 
<F+>
<R->

ngulos de duas retas com 
  uma transversal 

  Observe os ngulos formados pelas retas *a* e *b* e pela reta *t*, concorrente a *a* e *b*: 
<F->

               t
             
       :1  :2
b ::::::::::::::::::
     :4  :3
         
   :5  :6
a :::::::::::::::::
 :8  :7
     
    
<F+>
<p>
  Dizemos que a reta *t*  uma transversal de *a* e *b*. 
  As retas *a*, *b* e *t* determinam oito ngulos: :1, :2, :3, :4, :5, :6, :7 e :8.

 :1 e :5
<F->

              
            
      :1     
  :::::::::::::::::
         
        
  :5    
  ::::::::::::::::
     
    
   
<F+>

  :1 e :5 so ngulos correspondentes.
<p>
 :2 e :6
<F->

              
            
            :2
  :::::::::::::::::
            
        
        :6
  ::::::::::::::::
        
    
   
<F+>

  :2 e :6 so ngulos correspondentes.
<p>
 :3 e :7
<F->
   
              
            
              
  :::::::::::::::::
          :3  
        
          
  ::::::::::::::::
      :7 
    
   
<F+>

  :3 e :7 so ngulos correspondentes.
<p>
 :4 e :8
<F->

                
              
             
:::::::::::::::::::::
      :4    
          
         
::::::::::::::::::::
  :8     
      
     
<F+>

  :4 e :8 so ngulos correspondentes.
<93>

  Agora vamos estudar algumas propriedades importantes para duas retas cortadas por uma transversal. 

<R+>
_`[{para as propriedades a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->
<p>
1 propriedade 

  Observe, nas figuras _`[no representadas_`], as retas *a* e 
*b*, a transversal *t* e os ngulos correspondentes ^a e ^b. 
 ^a=60 e ^b=100 
  As retas *a* e *b* no so paralelas. 
 ^a=60 e ^b=40 
  As retas *a* e *b* no so paralelas. 
  Os ngulos correspondentes tm medidas desiguais. 
  As retas *a* e *b* so concorrentes. 
 ^a=60 e ^b=60 
  Os ngulos correspondentes tm medidas iguais. 
  As retas *a* e *b* so paralelas. 
<R->

  Se duas retas formam com uma transversal ngulos correspondentes de medidas iguais, ento elas so retas paralelas. 
<p>
2 propriedade (Axioma de 
  Euclides) 

  Observe a figura _`[no representada_`]. 
  Das retas que passam pelo ponto P -- retas *r*, *b*, *s*, *u* e *t* --, a nica que  paralela  reta *a*  a reta *b*. 
<94>

Postulado ou Axioma de Euclides 
  Por um ponto P fora de uma reta *a* passa uma nica reta *b* paralela  reta *a*. 

3 propriedade 

  Na figura a seguir, as duas retas paralelas *a* e *b* formam com a transversal *t* ngulos correspondentes de medidas iguais. 
<p>
<F->
              t
            
            70
b :::::::::::::::::
            
        
        70
a ::::::::::::::::
         
    
   
<F+>

  As duas retas paralelas *a* e *b* _`[no representadas_`] formam com qualquer transversal -- *t* ou *r* ou *s* -- ngulos correspondentes de medidas iguais. 

  Se duas retas paralelas interceptam uma transversal, ento os ngulos correspondentes tm medidas iguais. 
<p>
Concluses prticas 

<R+>
 Na figura a seguir, as retas *a* e *b* so paralelas e *t*  transversal: 
<F->

                t
              
        :1  :2
b ::::::::::::::::::
      :4  :3
          
    :5  :6
a ::::::::::::::::::
  :8  :7
      
     
<F+>
<R->

<F->
  Temos os ngulos corrrespondentes: 
:1=:5
:2=:6
:3=:7
:4=:8
<p>
:1=:3 (ngulos o. p. v.); 
  ento, :1=:3=:5=:7 
:2=:4 (ngulos o. p. v.); 
  ento, :2=:4=:6=:8 
<F+>
<R->
  Temos, ainda, os ngulos suplementares:
 :1+:4=180
  Da: 
 :1+:8=180 e 
  :4+:5=180 
 :2+:3=180
  Da:
 :2+:7=180 e :3+
  +:6=180
<95>
<R+>
 Para as retas *a* e *b* paralelas e *t* transversal, podemos generalizar: 
<R->
<p>
<F->
              t
            
            x 
b :::::::::::::::::
       x    
        
        x
a ::::::::::::::::
   x 
    
   
<F+>

  Os ngulos indicados por *x* tm medidas iguais, e os quatro ngulos agudos tm medidas iguais.
<F->

              t
            
         y  
b :::::::::::::::::
          y 
        
     y    
a ::::::::::::::::
      y 
    
   
<F+>
<p>  
  Os ngulos indicados por *y* tm medidas iguais, e os quatro ngulos obtusos tm medidas iguais.
<F->

              t
            
         y  x 
b :::::::::::::::::
       x  y 
        
     y  x 
a ::::::::::::::::
   x  y 
    
   
<F+>

  E, ainda, x+y=180. Ou podemos dizer que um ngulo agudo e um ngulo obtuso so sempre suplementares. 
<R+>
 Considere as retas, *r*, *s* e *t*, sendo r_ls: 
<R->
<p>
<F->

        _ t
        _
     _- _ _-
  ::::::w:::::: r
     _- _ _-     
        _ 
        _ 
     _- _ _-
  ::::::w:::::: s
     _- _ _-
        _
        _
 
<F+>
r#'t
s#'t

  Se *t* for perpendicular a *r* e a *s*, ento as retas determinam oito ngulos retos. 
  Vamos aprender a construir uma reta paralela a uma reta dada, usando o compasso. 
<p>
Construo 7 

Retas paralelas 

  Observe como podemos obter, usando rgua e compasso, a reta *s* que passa pelo ponto P e  paralela  reta *r*. Lembre que voc j aprendeu a construir uma reta paralela usando o esquadro. 
<R+>
<F->
1- Traamos um ponto P e uma reta *r*. 
2- Traamos uma reta *t* passando por P e concorrente com *r* em Q. 
<96>
3- Transportamos o ngulo :?r{qt*, de modo que o vrtice passe a ser P, um dos lados seja a reta *t* e o novo ngulo fique do mesmo "lado" da reta *t* em que est :?r{qt*.
4- Chamamos de {ps o outro lado do ngulo transportado. A reta *s*  paralela  reta *r*. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 30 a 33, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
30. Sendo a_lb, calcule *x*, *y* e *z* indicados em cada figura.

_`[{figura no representada_`]
 
31. Calcule *x*, *y* e *z*, sabendo que *r* e *s* so paralelas. 

_`[{figuras no representadas_`]

32. Sendo *r* paralela a *s*, qual  o valor de *x*? 

_`[{figuras no representadas_`]  
<p>
<97>
33. Sabendo que *r*  paralela a *s*, determine os valores de *x* e *y*. 
<F+>

<F->
a)
           i t        u
  --------i---------------- r
         i 100  95 
        i               
       i x            y  
  ----i--------------------- s
     i                     
    i                       

b)
           
           
            
             
        70 
              
     i x        
                 
        2y     y 
        -----------
                     
           s          r

<F+>
34. Se r_ls e t_lu, qual deve ser o valor de 
cada ngulo indicado por letra na figura? 
<F->

             u        t
                    
                     
r :::::::::::::::::::
         130 x 
                
       z     y 
s ::::::::::::::::::
             
            
           
<F+>

35. Sendo *r*, *s* e *t* paralelas, quais so as medidas dos ngulos indicados por letras? 

_`[{figura no representada_`]

<R->
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<p>
<R+>
36. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam quatro ngulos agudos. A soma desses ngulos agudos  
  109 2. Qual  a medida dos ngulos obtusos tambm formados? 

  Chamam-se colaterais internos dois ngulos como :4 e :5 ou :3 e :6 da figura da pgina 221. 

37. Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, formam ngulos colaterais internos, um dos quais excede o outro em 32 30. Determine as medidas desses ngulos. 
38. Se *r*  paralela a *s*, qual  o valor de *x*? 

_`[{figura no representada_`]

<R->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
39. Duas retas paralelas e uma transversal determinam dois ngulos correspondentes cujas medidas so 2x-30 e x+10. Calcule as medidas dos ngulos 
  obtusos determinados por essas retas. 
40. Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, formam quatro ngulos obtusos cujas medidas somam 449. Determine a medida de um dos ngulos agudos.
<98>

  Chamam-se alternos internos dois ngulos como :4 e :6 ou :3 e :5 da figura da pgina 221. 

41. Duas retas cortadas por uma transversal formam ngulos alternos internos expressos em graus por 13x2-1 e 9+4x. Determine as medidas desses ngulos para que as retas sejam paralelas.  
<p>
42. Neste exerccio voc vai usar rgua e compasso. 
a) Desenhe em seu caderno uma reta *a* e um ponto P fora de *a*. 
b) Seguindo os passos indicados na Construo 7, obtenha a reta *b*, paralela a *a*, que passa por P. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios 

rvores entre linhas 

  Num terreno h *n* rvores plantadas, conforme esquemas _`[no representados_`]. Traando apenas 3 linhas retas em cada caso, divida o terreno em *n* partes, de modo que cada parte contenha uma rvore. 
<p>
Brincando com quatro 6 

  Utilizando exatamente quatro nmeros 6, os sinais das operaes fundamentais  vontade e parnteses se necessrio, escreva as expresses aritmticas que tenham os seguintes valores: 
<F->
a) 6 
b) 8 
c) 24 
d) 66 
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<99>
<p>
Captulo 8- Tringulos

Tringulos em casa 

  Observe a foto _`[no representada_`], que mostra a cobertura das casas. Veja que o telhado est apoiado em estruturas triangulares, e isso ocorre porque os engenheiros civis sabem que os tringulos possuem caractersticas muito especiais.  por esse motivo que vamos estud-los. 

Tringulo 

  Observemos trs segmentos consecutivos e no colineares ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{c{a*. Juntos, esses segmentos formam um polgono (ou linha poligonal fechada) chamado tringulo.  o tringulo {a{b{c, que indicaremos por {a{b{c. 
<p>
<F->
       A
       ie
      i  e
     i    e
    i      e
B j::::::::h C
<F+>

  Dados trs pontos A, B e C no colineares, chama-se tringulo {a{b{c a reunio dos segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{c{a*. 

  Num tringulo {a{b{c, os pontos A, B e C so chamados vrtices, e os segmentos ^c?{a{b* (de medida *c*), ^c?{b{c* (de medida *a*) e ^c?{c{a* (de medida *b*) so chamados lados. 
<100>
  Os ngulos :?{b{a{c* (ou :{a), :?{a{b{c* (ou :{b) e :?{a{c{b* (ou :{c) so chamados ngulos internos. 
<p>
  Para simplificar a linguagem,  usual dizer: 

<F->
       A
       ie
    c i  e b
     i    e
    i      e
B j::::::::h C
       a
<F+>

<R+>
 o lado *a*  o oposto ao ngulo :{a; 
 o lado *b*  o oposto ao ngulo :{b; 
 o lado *c*  o oposto ao ngulo :{c. 
<R->
  Permetro de um tringulo, como voc j viu no 6 ano,  a soma das medidas dos seus lados. No tringulo {a{b{c: 
 permetro =a+b+c 
<p>
Classificao dos tringulos 
  quanto aos lados 

  Quando comparamos os lados de um tringulo, observamos que eles podem ser de trs tipos: 
  Se trs lados so congruentes, o tringulo  equiltero. 
^c?{a{b*==^c?{a{c*==^c?{b{c* 
  Se dois lados so congruentes, o tringulo  issceles. 
^c?{r{s*==^c?{r{t*
  Se dois lados quaisquer no so congruentes, o tringulo  escaleno. 
<101>
  Inicialmente, vamos aprender a construir um tringulo escaleno. 

Construo 8 

Tringulo escaleno 

  Dadas as medidas dos lados a=5 cm, b=4,5 cm e c=3,5 cm, observe como podemos construir o tringulo {a{b{c usando rgua e compasso: 
<R+>
<F->
<p>
1- Partindo do maior lado, traamos o segmento ^c?{b{c* de medida a=5 cm. 
2- Tomamos o compasso com abertura b=4,5 cm, ponta-seca no ponto C, e traamos um arco. 
3- Tomamos o compasso com abertura c=3,5 cm, ponta-seca no ponto B, e traamos outro arco. 
4- Os dois arcos se cruzam no ponto A. Ligando A a B e C, construmos o tringulo {a{b{c. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<102>

Desigualdade triangular 

  Quando tentamos construir um tringulo com lados medindo a=6 cm, b=3 cm e c=2 cm, obtemos a figura _`[no representada_`]. 
  Isso significa que no existe tringulo com lados medindo 6 cm, 3 cm e 2 cm. 
<p>
  Por que isso acontece? Esse fato  justificado pela propriedade a seguir: 
  Em qualquer tringulo, cada lado  menor que a soma dos outros dois. 

  Ento, dado o tringulo {a{b{c _`[no representado_`], em que *a*  medida do lado ^c?{b{c*, *b* medida do lado ^c?{a{c* e *c* medida do lado ^c?{a{b*, podemos escrever as seguintes relaes: 
 a<b+c, b<a+c e c<a+b
  Portanto, podemos saber se existe ou no tringulo comparando o maior lado com a soma dos outros dois. 
<p>
Exerccios

<R+>
43. Observe a figura: 

<F->
      R
      i
     i  
    i    
S ------u T
<F+>

<F->
a) Quantos so os vrtices? Quais so eles? 
b) Quantos so os lados? Quais so eles?
c) Quantos so os ngulos? Quais so eles? 
 
44. Neste exerccio voc vai usar rgua e compasso. Construa um tringulo equiltero com lados com medida 5 cm. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<p>
45. Diga se existe um tringulo com as medidas seguintes e justifique sua resposta: 
a) 5 cm, 7 cm e 3 cm 
b) 3 cm, 2 cm e 7 cm 
c) 3 cm, 3 cm e 2 cm 
d) 5 cm, 5 cm e 10 cm 
e) 4 cm, 4 cm e 4 cm 
f) 1 cm, 2 cm e 3 cm 
<103>

46. Um tringulo  issceles; dois dos seus lados medem 4 cm e 6 cm. Que medidas pode ter o terceiro lado? 
47. Os lados de um tringulo medem, em centmetros; 5, 3 e *x*. Que valores *x* pode assumir para que o tringulo exista? 
48. Os lados de um tringulo tm medidas expressas, em centmetros, por nmeros inteiros. Se dois lados medem 4 cm e 9 cm, que medidas pode ter o terceiro lado? 
<p>
49. Em um tringulo issceles o lado diferente mede 12 cm. Calcule as medidas dos outros dois lados, sabendo que o seu permetro  de 40 cm. 
50. O semipermetro de um tringulo  25 cm. Dois lados medem, respectivamente, 14,8 cm e 19,2 cm. Quanto mede o terceiro lado? 

  Semipermetro = metade do 
  permetro.

51. O tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c*. Sabendo que {a{b=2x-7 e {a{c=x+5, determine *x*. 
<R->
<F+>

<F->
         A
         
          
2x-7      x+5
            
             
    ----------u
    B        C
<F+>
<p>
<R+>
<F->
52. Determine *x*, *y* e o lado do tringulo {a{b{c equiltero _`[no representado_`], sabendo que {a{b=x+y, {a{c=x+3 e {b{c=y+4. 
53. Neste exerccio, voc vai usar rgua e compasso. Seguindo 
  os passos indicados na Construo 8, construa um tringulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
54. Em cada caso a seguir, diga se existe um tringulo cujos lados tenham essas medidas. Justifique sua resposta. 
a) 5 cm, 6 cm, 9 cm  
b) 100 cm, 150 cm, 300 cm 
c) 1 mm, 1 mm, 1 mm 
d) 5 cm, 3 cm, 2 cm 
<104>
<p>
55. O tringulo {a{b{c _`[no representado_`]  equiltero. Sabendo que {a{b=15-y, {b{c=2x-7 e {a{c=9, determine *x* e *y*.

56. Pretendemos construir um tringulo com as medidas dos lados indicadas em cada item a se-
  guir. Se o tringulo existir, calcule seu permetro. 
a) 5 cm, 4 cm e 3 cm 
b) 9 cm, 6 cm e 2 cm 
c) 1 cm, 3 cm e 2 cm 

57. O tringulo {a{b{c _`[no representado_`]  issceles de base ^c?{b{c*. Sabendo que {a{b=3x-10, {b{c=2x+4 e {a{c=x+4, calcule a medida de ^c?{b{c*. 
58. Determine os lados do tringulo da figura _`[no represen-
<p>
  tada_`], sabendo que ele tem 60 cm de permetro.  

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

59. Dois lados de um tringulo medem, respectivamente, 8 cm e 21 cm. Sabendo-se que a medida do terceiro lado  mltiplo de 6, quanto poder medir esse lado? 
<F+>
<R->

Desafio 

Contando tringulos 

  Quantos tringulos equilteros existem na figura _`[no representada_`]? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<105>
<p>
<R+>
Captulo 9- Soma dos ngulos de um tringulo 
<R->

Experincias com geometria 

<R+>
<F->
_`[{para as experincias de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]
<R->
<F+>

  Para saber qual resultado obtemos ao somar as medidas dos ngulos internos de um tringulo, vamos fazer trs experincias. Voc vai precisar do seguinte material: 
 lpis de cor 
 rgua 
 transferidor 
 folhas de papel avulsas 
 tesoura 
  Siga as orientaes atentamente e anote suas concluses. 

<R+>
<F->
Experincia 1 

1 Em uma folha avulsa, desenhe um tringulo (de preferncia um tringulo escaleno). 
<p>
2 Com um transferidor, mea cada ngulo. 
3 Some os nmeros encontrados. 

Experincia 2
 
1 Em uma folha avulsa, desenhe um tringulo, recorte-o e pinte cada ngulo de uma cor; a seguir, rasgue o tringulo em trs pedaos, separando as trs pontas (vrtices). 
2 Desloque os trs pedaos e junte-os de modo a obter trs ngulos adjacentes e consecutivos. 
3 Com o transferidor, mea a soma dos trs ngulos. 
<105>

Experincia 3 

1 Em uma folha avulsa, desenhe um tringulo grande, pinte cada ngulo de uma cor e recorte o tringulo. 
<p>
2 Coloque o tringulo recortado sobre uma mesa com a face colorida para baixo. 
3 Dobre como indicado. 
<F+>

_`[{figura no adaptada_`]

_`[{um professor pergunta para a turma: "Depois de fazer as trs experincias, a que concluso vocs chegaram?". Uma menina responde: "Que a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo  muito prxima de um ngulo raso (que  180)"_`]
<R->

  Por meio de argumentos lgicos, provaremos que a soma  exatamente 180. Veja a seguir. 

<R+>
Propriedade da soma dos ngulos dos tringulos 
<R->

  Vamos considerar um tringulo {a{b{c e observar seus ngulos, :{a, :{b e :{c.
<p>
<F->
          A
          
           
            
        :A     
              
     :B :C 
    ------------u
   B           C
<F+>

  Pelo vrtice A, vamos traar uma reta *r* paralela ao lado ^c?{b{c* e observar os ngulos :1 e :2. 

<F->
   r       A
   ccccccccccccccc
     :1    :1  
             
         :A     
               
      :B :C 
  ---------------u---
    B           C
<F+>

<107>
  Do paralelismo de *r* e ~:,?{b{c*, considerando-se a transversal ~:,?{a{b*, decorre que: 
:1==:{b
  Do paralelismo de *r* e ~:,?{b{c*, considerando-se a transversal ~:,?{a{c*, decorre que: 
:2==:{c
  Substituindo :1 por :{b e :2 por :{c, temos:

<F->
   r       A
   ccccccccccccccc
     :B      
                 
              
        :B   
    ------------u--
     B         C

         A
   ccccccccccccc
           :C   
               
            
       :C  
  ------------u--
    B        C
<p>
          A
   cccccccccccccc
           
   :B      :C   
        :A     
              
     :B :C 
  --------------u--
    B          C
<F+>

  Observando o terceiro tringulo e somando os ngulos que tm vrtice em A, conclumos que: 
 :{a+:{b+:{c== ngulo raso
  Esse resultado  resumido na propriedade: 

  A soma das medidas dos ngulos de um tringulo  180. 

Classificao dos tringulos 
  quanto aos ngulos 

  Os tringulos podem ser classificados em relao aos ngulos. Considerando que a soma das medidas dos ngulos de um tringulo  
<p>
180, podem ocorrer as seguintes situaes: 
<R+>
 Se os trs ngulos so agudos, o tringulo  acutngulo. 
<R->
  Exemplo: 50, 60 e 70 
  Note que: 
 50+60+70=180 

<R+>
_`[{a{b{c acutngulo no representado_`]
<R->
 
<R+>
 Se um dos ngulos  reto e os outros dois so agudos, o tringulo  retngulo. 
<R->
  Exemplo: 90, 35 e 55 
  Note que: 
 90+35+55=180 

<R+>
_`[{d{e{f retngulo no representado_`]
<R->

<108>
<R+>
 Se um dos ngulos  obtuso e os outros dois so agudos, o tringulo  obtusngulo. 
<R->
<p>
  Exemplo: 120, 20 e 40 
  Note que: 
 120+20+40=180 

<R+>
_`[{g{h{i obtusngulo no representado_`]
<R->

ngulo externo e sua 
  propriedade 

  Considere o tringulo {a{b{c apresentado a seguir: 

<F->
         A
         
          
               
            
             
    ----------u
    B        C
<F+> 

  Vamos prolongar o lado ^c?{b{c* do tringulo {a{b{c na extremidade C e tomar um ponto X no prolon-
<p>
gamento, de modo que a semirreta :,?{c{x* seja oposta  semirreta :,?{c{b*. 

<F->
         A
         
          
               
            
              :e
    ----------u----o--
    B        C    X
<F+> 

  Dizemos que o ngulo :?{a{c{x*  um ngulo externo do tringulo {a{b{c. 
  Observe que o ngulo externo :e=:?{a{c{x*  adjacente ao ngulo :{c do tringulo. Mas os ngulos :{a e :{b do tringulo no so adjacentes ao ngulo externo :e=:?{a{c{x*.
<p>
<F->
           A
            
             
             
         :A 
                   
                
      :B  :C  :e
    --------------u------o--
    B             C     X

<F+> 
  Observe, ainda, que: 
<R+>
 :e+:{c=180 (pois :e e :{c so adjacentes e suplementares) 
 :{a+:{b+:{c=180 (soma dos ngulos internos de um tringulo) 
<R->
  Ento, temos:
 :e=180-:{c -- :{a+:{b=
  =180-:{c :> :e=:{a+:{b

  Em todo tringulo, qualquer ngulo externo tem medida igual  soma das medidas dos dois ngulos internos no adjacentes a ele. 
<109>
<p>
Exerccios

<R+>
60. Em cada item, calcule o valor de *x* e classifique o tringulo em relao aos ngulos. 
<R->

a)_`[{figura no representada_`]

:A=100
:B=60
:C=x

b) _`[{figura no representada_`]

:D=30
:E=40
:F=x

c) _`[{figura no representada_`]

:G=x
:H=90
:I=40
<F+>

<R+>
<F->
61. Dois ngulos de um tringulo medem, respectivamente, 45 e 57. O tringulo  acutngulo, retngulo ou obtusngulo? 
62. Um tringulo pode ter dois ngulos obtusos? E dois ngulos retos? 
<p>
63. Em um tringulo retngulo: 
a) os ngulos agudos so complementares ou suplementares? 
b) se um dos ngulos agudos mede 45, quanto mede o outro ngulo agudo? 
c) se um dos ngulos agudos  o dobro do outro, quanto medem esses ngulos? 

64. Determine a medida dos ngulos agudos de um tringulo retngulo em que: 
a) um ngulo  o dobro do outro; 
b) os ngulos agudos diferem em 15 20. 

65. Um ngulo de um tringulo mede 80. A diferena entre os outros dois  32. D a medida dos ngulos do tringulo. 
66. Calcule os ngulos :{a, :{b e :{c de um tringulo, sabendo que :{b  o triplo de :{a e que :{c  o quntuplo de :{a. 
<p>
67. Qual o valor de *x*? 

a) _`[{figura no representada_`]

:A=30
:B=20
ngulo externo :C=x
<F+>
<R->

b)
<F->
         D
          
         _
         _
         _
         _
         _
  x      _
---------#
   E    F

:D=60
<p>
c)
<F->
                  
                 
                 2x+10 
               
                
                 
 2x-10       x  
     --------------u
              
<F+>
<R+>
68. Determine os valores de *x* e *y* em cada item. 
<R->
<110>
a)
<F->
          A
          
           
            
        80 
              
   y         x  150
----------------u----
    B           C

<p>
b) _`[{figura no representada_`]
<R+>

tringulo {a{b{d: :A=55; 
  ngulo externo :B=y; :D=x
tringulo {a{c{d: :A=30; 
  :C=40; ngulo externo :D=x
<R->
<F+>
<110>

<R+>
_`[{para os exerccios 69 a 72, pea orientao ao professor_`]

69. Calcule a soma x+y+z nas seguintes figuras: 
<R->
a)
<F->
          
         
         y       
       
        
         
  x        
-----------u
           z 
              
               
<p>
b)
      y
     
      
       
         
 --------u
x          z
<F+>

<R+>
70. Sabendo que r_ls, calcule o valor de *x*. 
<R->

<F->
 ccccccccccccc r
      30
      
       
  115 
        
        x
 ------------- s
<F+>
<p>
<R+>
71. Na figura, *r*  paralela a *s*. Determine a soma x+y.
<R->

<F->
               
              
cccccccccccccmcccc r
             x
      70 
          
         
        o
         
          
           
             y
-------------u---- s
              
               
<F+>

<R+>
72. Na figura, as retas paralelas *r* e *s* so cortadas pela transversal *t*. Determine o 
  ngulo *x* formado pelas bissetrizes *m* e *n*. 
<R->

_`[{figura no representada_`]
<p>
<R+>
<F->
73. Pode-se dizer que existe um tringulo que seja: 
a) acutngulo e issceles? 
b) obtusngulo e issceles? 
c) retngulo e issceles? 

74. O ngulo do vrtice de um tringulo issceles mede 67 32 52. Calcule os ngulos da base. 
<111>

_`[{para os exerccios 75 a 80 e 82 pea orientao ao professor_`]

75. Calcule *x* e *y* em cada uma das figuras _`[no representadas_`]. 
76. Sabendo que as retas *r* e *s* so paralelas, calcule *x*, *y* e *z*. 

_`[{figura no representada_`]

77. Sabendo que r_ls, calcule *x* na figura_`[no representada_`]. 
78. Sabendo que r_ls, calcule *x* e *y*. 

_`[{figura no representada_`]

79. Calcule *x* na figura _`[no representada_`]. 
<112>
80. Qual  o valor de *x*? 

_`[{figuras no representadas_`]

81. Determine a medida dos ngulos internos do tringulo, sabendo que os ngulos externos medem em graus, respectivamente: x, x+10 e x-10. 
82. Calcule o valor de *x* na figura _`[no representada_`]. 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte

